Pause and ponder
一个长度为 $1$ 的线段上随机撒 $n-1$ 个点，形成了 $n$ 条线段，那么这 $n$ 条线段中第 $k$ 短（$k\leq n$）的线段期望长度是多少呢？答案是：
$$
\frac 1n \sum_{i=0}^{k-1} \frac 1{n-i}
$$
例如， $n$ 条线段中最短的线段期望长度是 $\frac 1 {n^2}$，第二短的期望是 $\frac 1n (\frac 1n + \frac 1{n-1})$ ，依此类推。
事实上，这 $n$ 条线段期望的长度分布是指数分布，可以类比玻尔兹曼分布，少数较长的线段占据了大部分长度。而如果按照从左往右的顺序的话，每条线段长度都服从相同的概率分布，概率密度函数都是 $\displaystyle f(x) = (n-1) \cdot (1-x)^{n-2}$ 。
最近我一直在刷潘承洞、潘承彪的《初等数论》，感觉还是学到了不少东西呢。从现在我就来做一个数论之旅系列专题笔记吧，顺便也记录一下我的学习历程。
这一次笔记对应的是《初等数论》第四章同余方程 4.5 到 4.9 的内容，主要介绍二次剩余理论，包括欧拉判别法，勒让德符号，二次互反律，雅克比符号等，以及高次同余方程简介，给出了 $n$ 次剩余的判别公式。
在开始之前约定一下我的记号吧。未经说明的任何字母都代表自然数，小写字母 $p$ 始终代表奇素数，而大写的 $P$ 则不一定。
你敢相信 $\sum\limits^{\infty}_{i=0}2^i = -1$ 吗？数论中一个长相奇怪的定理到底有什么直观意义？牛顿迭代法作为常用的数值方法，和p进数又会有什么联系？
上面的几个问题似乎毫不相关，我当时分别听说这几个知识的时候也没有发现它们之间的联系。可是这几天偶然了解到有关p进数（p-adic）的一套理论，我顿时感觉如同醍醐灌顶：换一种角度看问题，它们之间的联系居然如此简单明了！下面我就来介绍一下我认识的这几个知识的联系吧。
这一块内容有很多涉及代数数论甚至泛函分析的相关内容，我都没有太深入的了解，可能会出不少问题，也希望大家能给我进行一些补充吧。